Ln x hur lösa ut x

Med hjälp från derivatans definition kan oss teckna derivatan för exponentialfunktionen  $f\left(x\right)=a^x$()=  som

$f´\left(x\right)=$´()= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$(+)−()=$ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$⁺−

Genom för att nu förenkla uttrycket är kapabel vi skriva  

$f´\left(x\right)=$´()= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=$⁺−=  $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^x\cdot a^h-a^x}{h}=$·−=   $ \lim\limits_{h \to 0}$  $a^x\cdot$·$\frac{a^h-1}{h}$−1

Eftersom att den första faktorn, $a^x$, inte påverkas av $h$, kan oss skriva  $f´\left(x\right)=$´()=$a^x\cdot$·$k$

där  $k=$= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{a^h-1}{h}$−1

Genom för att göra numeriska beräkningar, alltså sätta in mindre samt mindre värden för $h$ i kvoten, kan vi besluta att

= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{1^h-1}{h}$1−1$=0$=0    vilket ger derivatan  $f´\left(x\right)=$´()=$1^x\cdot0=0$1·0=0

= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{2^h-1}{h}$2−1$\approx0,69$≈0,69   vilket ger derivatan $f´\left(x\right)\approx$´()≈$2^x\cdot0,69$2·0,69

= $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{3^h-1}{h}$3−1$\approx1,10$≈1,10     vilket ger derivatan $f´\left(x\right)\approx$´()≈$3^x\cdot1,10$3·1,10

= $